【儀表網(wǎng) 研發(fā)快訊】日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組，在非線性全局同步和拓撲電路研究方面取得重要進展。相關(guān)工作以“Non-Hermitian global synchronization” 為題發(fā)表在Advanced Science [Adv. Sci. 2408460 (2024)]上。北京理工大學(xué)物理學(xué)院張蔚暄研究員和2022級博士生邸鳳瀟為論文的共同第一作者，張向東教授為通訊作者。研究工作得到國家重點研發(fā)計劃、 國家自然科學(xué)基金和北京市自然科學(xué)基金的大力資助。
 

　　同步的研究最早可以追溯到十七世紀荷蘭科學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)的相互作用雙鐘擺模型，即掛在同一根橫梁上的兩個鐘擺會朝著相反的方向同頻率擺動。自惠更斯發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象以來，人們在電氣工程、無線電技術(shù)、生物學(xué)和聲學(xué)等不同領(lǐng)域也發(fā)現(xiàn)了各種同步效應(yīng)。從小尺寸的微粒間同步和微納振蕩器同步，到距離千米的光機械系統(tǒng)的同步。從復(fù)雜生物系統(tǒng)的耦合生物光素同步，到尋常生日蛋糕上蠟燭火焰的同步。從稻田里的青蛙和樹上的知了同步鳴叫，到展現(xiàn)集體行為學(xué)的蜜蜂群體螺旋波等。
 

　　為了深入理解同步現(xiàn)象，科學(xué)家對多種同步模型進行了深入研究。在沒有主動驅(qū)動的情況下，由非線性引起的耦合自治振子的同步效應(yīng)引起了廣泛關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，耦合非線性振子的同步效應(yīng)會顯著受到振子間的耦合方式、耦合強度以及固有頻率分布的影響，使非線性同步在實際應(yīng)用中容易遭到結(jié)構(gòu)無序和缺陷的破壞。同時，耦合非線性振子的同步效應(yīng)對初始條件非常敏感，需要對其進行精細控制。因此，設(shè)計魯棒的新型耦合非線性振子模型，構(gòu)建穩(wěn)定的同步效應(yīng)具有重要意義。
 

　　研究亮點一：理論揭示反常的非厄米趨膚全局同步效應(yīng)
 

　　針對上述問題，研究人員對非互易耦合Stuart-Landau振子模型(圖1a)進行了系統(tǒng)性研究。線性非互易耦合與1D Hatano-Nelson鏈相對應(yīng)。Stuart-Landau振子的動力學(xué)方程為
 

　　。研究人員對上百種隨機初始條件下，系統(tǒng)的時域演化特性進行了計算。發(fā)現(xiàn)無論初始條件如何設(shè)置，系統(tǒng)都會演化到反相同步態(tài)或同相同步態(tài)之一，如圖1(b1)和(b2)所示。通過穩(wěn)定性分析可知，兩種同步態(tài)都具有非線性穩(wěn)定性，對應(yīng)于非線性極限環(huán)。有趣的是，兩種非線性同步態(tài)的空間分布(圖1(e1)和1(e2))與Hatano-Nelson鏈的兩個最小局域非厄米趨膚態(tài)(由IPR量化，圖1(c1))的空間分布完全一致(歸一化因子為11.5)。另外，反相和同相非線性同步態(tài)的頻率(圖1(d1)和1(d2))也與最小局域非厄米趨膚態(tài)的本征相對應(yīng)。這些結(jié)果顯示，在弱非線性條件下 (β|Zl (t)|2?J+,J-)，系統(tǒng)可以展現(xiàn)由非厄米線性趨膚態(tài)統(tǒng)治的全局同步效應(yīng)，即非厄米-線性全局趨膚同步。這一現(xiàn)象是由非厄米趨膚態(tài)的非正交性和非厄米趨膚極限環(huán)共同導(dǎo)致的。
 

　　為了進一步分析系統(tǒng)參數(shù)對非厄米趨膚全局同步的影響，研究人對Kuramoto序參量進行了擴展，定義了新的序參量Ro來量化系統(tǒng)的同步特性。其中，同相和反相非厄米全局同步態(tài)的序參量都具有趨于0。通過計算序參量隨非互易耦合強度的變化(圖1f)可知，非厄米線性趨膚同步效應(yīng)只能存在于0.25≤J-≤1.2(J+=1.5)的區(qū)間內(nèi)。這是由非厄米趨膚態(tài)的非正交性與弱非線性條件(β|Zl(t)|2?J+,J-)的平衡所導(dǎo)致的。此外，非厄米趨膚全局同步也可以展示尺寸依賴的臨界行為。圖1g展示了序參量隨系統(tǒng)尺寸N的變化曲線。在N≤7的區(qū)域，由于非厄米趨膚態(tài)較弱的非正交性，系統(tǒng)展現(xiàn)多頻振蕩。隨著尺寸的增加738時，系統(tǒng)的弱非線性近似被破壞，非線性本征態(tài)主導(dǎo)了系統(tǒng)的動力學(xué)特性。當(dāng)尺寸增大到N>45時，由非線性-非厄米趨膚態(tài)統(tǒng)治的全局同步效應(yīng)出現(xiàn)，即非厄米-非線性全局趨膚同步。上面結(jié)果顯示，通過增加非厄米-非線性系統(tǒng)的尺寸，可以展現(xiàn)線性或非線性非厄米全局趨膚同步效應(yīng)，這一反?，F(xiàn)象與傳統(tǒng)同步模型相反。發(fā)生這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因是：線性和非線性趨膚態(tài)的非正交性會隨著系統(tǒng)尺寸的增大而增強。
 

　　另外，研究人員發(fā)現(xiàn)，非厄米趨膚全局同步效應(yīng)也可以在具有互易耦合的增益損耗系統(tǒng)中存在，進一步證明了非厄米趨膚全局同步的普適性。
 

圖1. 非厄米趨膚全局同步的理論結(jié)果。
 

　　研究亮點二：理論揭示非厄米拓撲全局同步效應(yīng)
 

　　除了非厄米趨膚全局同步效應(yīng)，研究人員進一步對基于1D非厄米SSH鏈的耦合非線性振子模型(圖2a)進行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)拓撲邊界態(tài)的空間分布和局域強度，可以使系統(tǒng)展現(xiàn)多種非厄米同步效應(yīng)。當(dāng)拓撲邊界態(tài)與非厄米趨膚態(tài)局域在同一邊界時，系統(tǒng)可以展現(xiàn)非厄米-線性趨膚全局同步(圖2b，2f所示，同步趨膚態(tài)的局域化程度(IPR)比拓撲態(tài)更小)，非厄米-非線性趨膚全局同步(圖2c，2g，拓撲態(tài)和趨膚態(tài)的IPR接近)和非厄米拓撲全局同步(圖2d，2h，拓撲態(tài)的IPR最小)。另外，當(dāng)拓撲邊界態(tài)與非厄米趨膚態(tài)局域在相反邊界時，系統(tǒng)兩邊界附近的非線性振子分別展現(xiàn)由線性趨膚態(tài)和拓撲態(tài)主導(dǎo)的同步效應(yīng)，即非厄米趨膚-拓撲同步簇(圖2e，2i)。最后，研究人員進一步計算了序參量隨包間耦合強度以及晶格長度的變化關(guān)系，揭示了上述非厄米全局同步效應(yīng)間的轉(zhuǎn)變規(guī)律，如圖2j和2k所示。
 

圖2. 非厄米拓撲全局同步的理論結(jié)果。
 

　　研究亮點三：基于非厄米-非線性拓撲電路的實驗觀測
 

　　為了對上述理論預(yù)言進行實驗證明，研究人員設(shè)計并制備了兩種非厄米-非線性拓撲電路(圖3a-3b和圖4a-4b所示)，使其電壓動力學(xué)演化方程與圖1a和2a中的耦合非線性振子模型的時域薛定諤方程在數(shù)學(xué)形式上完全一致。進而通過對電路電壓演化特性的測量，實現(xiàn)了對上述非厄米趨膚全局同步(圖3c-3h)以及非厄米拓撲全局同步(圖4c-3h)的實驗觀測。
 

圖3. 非厄米線性趨膚同步電路實驗結(jié)果。
 

圖4. 非厄米拓撲同步電路實驗結(jié)果。
 

　　該工作首次揭示了具有反常特性的非厄米趨膚全局同步和非厄米拓撲全局同步效應(yīng)。設(shè)計并制備了兩種非厄米-非線性拓撲電路，實現(xiàn)了對非厄米趨膚全局同步以及非厄米拓撲全局同步的實驗證明。與傳統(tǒng)厄米同步系統(tǒng)不同，非厄米全局同步具有初態(tài)魯棒性，結(jié)構(gòu)擾動魯棒性，同步模式可調(diào)性以及尺度可拓展性等獨特性質(zhì)。這些特點使其在眾多非線性同步系統(tǒng)中，具有潛在的應(yīng)用前景。